§1 — La ley de Gauss
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga que esa superficie encierra. No importa cómo esté repartida esa carga, ni si hay más cargas fuera: al flujo total solo contribuye la carga encerrada.
Flujo del campo eléctrico: $$\Phi_E = \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$
Cuando el problema tiene simetría esférica, el campo es radial y su módulo depende solo de la distancia al centro. Si se toma como superficie gaussiana una esfera de radio \(r\), el campo es constante sobre ella y perpendicular en cada punto, así que el flujo vale simplemente \(E(r)\cdot 4\pi r^2\). Despejar el campo es inmediato:
Campo con simetría esférica: $$E(r) = \frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$$
De aquí salen los tres resultados que se usan en clase: dentro de un conductor en equilibrio el campo es nulo y la carga se reordena en sus superficies; dentro de un aislante cargado el campo crece según se va acumulando carga; y fuera de todo el conjunto el campo es el de una carga puntual con la carga total.
§2 — Laboratorio
Monta la esfera de dentro hacia fuera. Cada capa puede ser vacío, un aislante con densidad de carga \(\rho\) uniforme, o un conductor con carga total \(Q\). Mueve después la superficie gaussiana para leer, a cada radio, la carga encerrada, el flujo y el campo.
Casos típicos
Superficie gaussiana
- Región
- —
- Qenc
- —
- ΦE
- —
- E(r)
- —
Sección por el centro de la esfera
- Carga +
- Carga −
- Conductor
- Superficie gaussiana
§3 — Solución analítica
Estas son las expresiones de \(E(r)\) región por región para la esfera que has montado, escritas con símbolos y no con los valores numéricos: es la forma en que se resuelve el problema en el examen. La región donde está ahora la superficie gaussiana aparece resaltada.